Изобарный процесс изменения состояния газа основные уравнения. Изопроцессы в газах. Получение универсальной газовой постоянной

Основные термодинамические свойства идеальных газов

При исследовании термодинамических процессов используется уравнение состояния

и математическое выражение первого закона термодинамики

При изучении термодинамических процессов идеальных газов, в общем случае требуется определить уравнение кривой процесса в PV , PT , VT диаграмме, установить связь между термодинамическими параметрами и определить следующие величины:

− изменение внутренней энергии рабочего тела

(формула справедлива не только для V = const , но и для любого процесса)

− определить внешнюю (термодинамическую) удельную работу

и располагаемую удельную работу

−количество теплоты, участвующей в термодинамическом процессе

Где – теплоемкость процесса

–изменение энтальпии в термодинамическом процессе

(формула справедлива не только при p = const , но и в любом процессе)

– доля теплоты, которая расходуется на изменение внутренней энергии в данном процессе:

–доля теплоты, превращается в полезную работу в данном процессе

В общем случае любые два термодинамических параметра из трех (P , V , T ) могут изменяться произвольно. Для практики наибольший интерес представляют следующие процессы:

Процессы при постоянном объеме (V = const ) – изохорный.

При постоянном давлении (P = const ) – изобарный.

При постоянной температуре (T = const ) – изотермический.

Процесс dq =0 (протекающий без теплообмена рабочего тела с окружающей средой) – адиабатный процесс.

Политропный процесс, который, при определенных условиях, можно рассматривать как обобщающий по отношению ко всем основным процессам.

В дальнейшем будем рассматривать 1-й закон термодинамики и величины, входящие в него, как отнесенные к 1кг массы.

Процесс при постоянном объеме

(изохорный процесс)

Такой процесс может совершается рабочим телом, например, находящимся в сосуде не меняющем свой объем, если к рабочему телу подводится теплота от источника теплоты или отводится теплота от рабочего тела к холодильнику.

При изохорном процессе V = const и dV =0 . Уравнение изохорного процесса получается из уравнения состояния при V = const .

– закон Шарля (*)

То есть при V = const давление газа пропорционально абсолютной температуре. При подводе теплоты давление увеличивается, при отводе уменьшается.

Изобразим процесс при V = const в pV , pT и VT диаграммах.

В p V – диаграмме изохора 1-2– вертикальная прямая, параллельная оси p . В процессе 1-2 теплота подводится к газу, давление увеличивается, а следовательно из уравнения (*) увеличивается температура. В обратном процессе 2-1 теплота отводится от газа, в результате чего уменьшается внутренняя энергия газа и понижается его температура, т.е. процесс 1-2 – нагревание, 2-1 – охлаждение газа.

В p T –диаграмме изохоры – прямые линии, выходящие из начала координат с угловым коэффициентом (коэффициент пропорциональности)

Причем чем выше уровень объема, тем ниже лежит изохора.

В VT – диаграмме изохоры – прямые параллельные оси T .

Внешняя работа газа в изохорном процессе:

поскольку

Располагаемая удельная работа

Изменение внутренней энергии газа в изохорном процессе, если

Удельная теплота, подводимая к рабочему телу, при

Поскольку при V = const газ не совершает работы (dl =0 ), то уравнение первого закона термодинамики примет вид:

То есть в процессе при V = const вся теплота, подводимая к рабочему телу, расходуется на увеличение внутренней энергии, то есть на повышение температуры газа. При охлаждении газа его внутренняя энергия уменьшается на величину отводимой теплоты.

Доля теплоты, расходуемой на изменение внутренней энергии

Доля теплоты, расходуемой на совершение работы

Процесс при постоянном давлении

(изобарный процесс)

Изобарный процесс, например, может протекать в цилиндре под поршнем, который перемещается без трения так, что давление в цилиндре остается постоянным.

При изобарном процессе p = const , dp =0

Уравнение изобарного процесса получается при p = const из уравнения состояния:

– закон Гей-Люссака (*)

В процессе при p = const объем газа пропорционален температуре, то есть при расширении газа температура, а следовательно и внутренняя энергия, увеличивается, а при сжатии – уменьшается.

Изобразим процесс в pV , pT , VT – диаграммах.

В pV –диаграмме процессы при p = const изображаются прямыми, параллельными оси V . Площадь прямоугольника 12дает в соответствующем масштабе работу газа l . В процессе 1-2 к газу подводится теплота, поскольку удельный объем увеличивается, а следовательно по уравнению (*) увеличивается температура. В обратном процессе 2-1 теплота отводится от газа, в результате уменьшается внутренняя энергия и температура газа, т.е. процесс 1-2– нагревание, а 2-1– охлаждение газа.

В VT – диаграмме изобары представляют собой прямые линии, выходящие из начала координат, с угловым коэффициентом .

В pT – диаграмме изобары представляют собой прямые, параллельные оси T .

Работа газа в изобарном процессе (p = const )

Поскольку, то

То есть если температура газа увеличивается, то работа положительна.

Располагаемая работа

поскольку ,.

Изменение внутренней энергии газа, если

Количество теплоты, сообщенное газу при нагревании (или отдаваемое им при охлаждении), если

То есть теплота, подведенная к рабочему телу в изобарном процессе, идет на увеличение его энтальпии, т.е. в изобарном процессе является полным дифференциалом.

Уравнение первого закона термодинамики имеет вид

Доля теплоты, расходуемая на изменение внутренней энергии в изобарном процессе,

где k – показатель адиабаты.

Доля теплоты, расходуемая на выполнение работы при p = const ,

В МКТ , n –число степеней свободы.

Для одноатомного газа n =3 и тогда φ=0.6, ψ=0.4, то есть на выполнение внешней работы идет 40% сообщаемой газу теплоты, а 60% − на изменение внутренней энергии тела.

Для двухатомного газа n =5 и тогда φ=0.715, ψ=0.285, то есть на выполнение внешней работы идет ≈28,5% сообщаемой газу теплоты и 71,5% на изменение внутренней энергии.

Для трехатомного газа n =6 и тогда φ=0.75, ψ=0.25, то есть на выполнение внешней работы идет 25% теплоты (паровой двигатель).

Процесс при постоянной температуре

(изотермический процесс)

Такой термодинамический процесс может протекать в цилиндре поршневой машины, если по мере подвода теплоты к рабочему телу поршень машины перемещается, увеличивая объем настолько, что температура рабочего тела остается постоянной.

При изотермическом процессе T = const , dT =0.

Из уравнения состояния

−закон Бойля-Мариотта.

Следовательно, в процессе при постоянной температуре давление газа обратно пропорционально объему, т.е. при изотермическом расширении давление падает, а при сжатии увеличивается.

Изобразим изотермический процесс в pV , pT , VT − диаграммах.

В pV − диаграмме − изотермический процесс изображается равносторонней гиперболой, причем, чем выше температура, тем выше располагается изотерма.

В pT − диаграмме – изотермы – прямые, параллельные оси p .

В VT − диаграмме – прямые, параллельные оси V .

dT =0, то

То есть U = const , i = const – внутренняя энергия и энтальпия не изменны.

Уравнение первого закона термодинамики принимает вид (T = const )

То есть вся сообщаемая газу теплота в изотермическом процессе расходуется на работу расширения. В обратном процессе – в процессе сжатия от газа отводится теплота, равная внешней работе сжатия.

Удельная работа в изотермическом процессе

Удельная располагаемая работа

Из последних двух уравнений следует, что в изотермическом процессе для идеального газа располагаемая работа равна работе процесса.

Теплота, сообщаемая газу в процессе 1-2,

1-й закон термодинамики

Отсюда следует, что при T = const l = l 0= q , т.е. работа, располагаемая работа и количество теплоты, получаемая системой, равны.

Поскольку в изотермическом процессе dT =0, q = l = какой-то конечной величине, то из

получаем, что в изотермическом процессе C =∞. Поэтому, определить количество теплоты, сообщаемое газу в изотермическом процессе, при помощи удельной теплоемкости невозможно.

Доля теплоты, расходуемая на изменение внутренней энергии при T = const

а доля теплоты, расходуемая на выполнение работы,

Процесс без теплообмена с внешней средой

(адиабатный процесс)

При адиабатном процессе энергообмен рабочего тела с окружающей средой происходит только в форме работы. Рабочее тело предполагается теплоизолированным от окружающей среды, т.е. передача тепла между ним и окружающей средой отсутствует, т.е.

q =0, а следовательно dq =0

Тогда, уравнение первого закона термодинамики примет вид

Таким образом изменение внутренней энергии и работа в адиабатном процессе эквивалентны по величине и противоположны по знаку.

Следовательно, работа адиабатного процесса расширения совершается вследствие уменьшения внутренней энергии газа и, следовательно, температура газа уменьшатся. Работа адиабатного сжатия полностью идет на увеличение внутренней энергии, т.е. на повышение его температуры.

Получим уравнение адиабаты для идеального газа. Из первого закона термодинамики

при dq =0 получим ( du = CV dT )

Теплоемкость , откуда

Дифференцируя уравнение состояния pV = RT получим

Подставляя RdT из (**) в (*)

или, разделив на pV ,

Интегрируя при k = const , получим

Последнее уравнение называется уравнением Пуассона и является уравнением адиабаты при .

Из уравнения Пуассона следует, что

то есть при адиабатном расширении давление падает, а при сжатии возрастает.

Изобразим изохорный процесс в pV , pT и VT – диаграммах

Площадь V 1 12 V 2 под адиабатой 1-2 на pV – диаграмме дает работу l равную изменению внутренней энергии газа

Сравнивая уравнение адиабаты с законом Бойля-Мариотта (T = const ) можем сделать вывод, что, поскольку k >1, то при расширении по адиабате давление падает сильнее, чем по изотерме, т.е. в pV – диаграмме адиабата больше изотермы, т.е. адиабата – неравносторонняя гипербола, не пересекающее координатных осей.

Получим уравнение адиабаты в pT и VT − диаграммах. В адиабатном процессе изменяются все три параметра (p , V , T ).

Получим зависимость между T и V . Уравнения состояния для точек 1 и 2

откуда, разделив второе уравнение на первое

Подставляя отношение давление из уравнения адиабаты Пуассона

или TVk -1= const – уравнение адиабаты в VT - диаграмме.

Подставляя в (*) (3) отношение объемов из уравнения адиабаты (Пуассона)

или − уравнение адиабаты в pT - диаграмме. Эти уравнения получены в предположении, что k = const .

Работа в адиабатном процессе при CV = const

Учитывая соотношение между температурой T и V

Учитывая соотношение между T и p

Изменение внутренней энергии u =- l .

Располагаемая работа, с учетом того, что

Т.е. располагаемая работа в k раз больше работы адиабатного процесса l .

φ и ψ не находим.

Политропный процесс

Политропный процесс – это любой произвольный процесс, протекающий при постоянной теплоемкости, т.е.

Тогда, уравнение 1-го закона термодинамики примет вид

(*) (1)

Таким образом, если C = const и CV = const , то количественное распределение теплоты между внутренней энергией и работой в политропном процессе остается постоянным (например 1:2).

Доля теплоты, расходуемой на изменение внутренней энергии рабочего тела

Доля теплоты, расходуемая на внешнюю работу,

Получим уравнение политропного процесса. Для этого воспользуемся уравнением 1-го закона термодинамики (*)

Отсюда, из (*) и (**)

Разделив второе уравнение (4) на первое (3)

Введем величину , называемою показателем политропы. Тогда,

Интегрируя это выражение, получим

Это уравнение является уравнением политропы в pV − диаграмме. Показатель потлитропы n является постоянным для конкретного процесса, и может изменяться от -∞ до +∞.

Пользуясь уравнением состояния, можем получить уравнение политропы в VT и pT – диаграммах.

Из - уравнение политропы в VT - диаграмме.

Из

− уравнение политропы в pT - диаграмме.

Политропный процесс является обобщающим, а основные процессы (изохорный, изотермический, адиабатный) – частные случаи политропного процесса, каждому из которых соответствует свое значение n . Так, для каждого изохорного процесса n =±∞, изобарного n =0, изотермического n =1, адиабатного n = k .

Поскольку уравнение политропы и адиабаты одинаковы по форме и отличаются только величиной n (показатель политропы вместо k − показателя адиабаты), то можем записать

работа политропного процесса

располагаемая работа политропного процесса

Теплоемкость газа из , откуда

Причем, в зависимости от n теплоемкость процесса может быть положительной, отрицательной, равной нулю и изменяется от -∞ до +∞.

В процессах C<0 всегда l > q т.е. на выполнение работы расширения, кроме подведенной теплоты расходуется часть внутренней энергии газа.

Изменение внутренней энергии политропного процесса

Теплота, сообщаемая газу в политропном процессе

Изменение энтальпии рабочего тела

Второй закон термодинамики

Первый закон термодинамики характеризирует процессы превращения энергии с количественной стороны, т.е. он утверждает, что теплота может превращаться в работу, а работа в теплоту, не устанавливая условий, при которых возможны эти превращения. Таким образом, он только устанавливает эквивалентность различных форм энергии.

Второй закон термодинамики устанавливает направленность и условия протекания процесса

Как первый закон термодинамики второй закон был выведен на основе экспериментальных данных.

Опыт показывает, что превращение теплоты в полезную работу может происходить только при переходе теплоты от нагретого тела к холодному, т.е. при наличии разности температур между теплоотдачиком и теплоприемником. Изменить естественное направление передачи теплоты на обратное можно только за счет затраты работы (например, в холодильных машинах).

Согласно 2-му закону термодинамики

Невозможен процесс, при котором теплота переходила бы самопроизвольно от холодных тел к телам нагретым.

Не вся теплота, полученная от теплоотдачика, может перейти в работу, а только ее часть. Часть теплоты должна перейти в теплоприемник.

Таким образом, создания устройства, которое без компенсации полностью превращала бы в работу теплоту какого-либо источника, и называемого вечным двигателем второго рода, невозможно!

Обратимые и необратимые процессы

Для любой термодинамической системы можно представить два состояния, между которыми будет (рис) происходить два процесса: один от первого состояния ко второму и другой наоборот, от второго состояния к первому.

Первый процесс называют прямым процессом, а второй – обратным.

Если после прямого процесса следует обратный и при этом термодинамическая система возвращается в исходное состояние, то такие процессы принято считать обратимыми .

При обратимых процессах система в обратном процессе проходит через те же равновесные состояния, что и в прямом процессе. При этом ни в окружающей среде, ни в самой системе не возникает никаких остаточных явлений, (нет изменения параметров, выполненной работы и т.д.). В результате прямого процесса AB , а затем обратного BA конечное состояние системы будет тождественно начальному состоянию.

На рисунке показана установка механически обратимого процесса. Установка состоит из цилиндра 1, поршня 2 со столиком 3 и песком на нем. Под поршнем в цилиндре содержится газ, который испытывает давление от песка, находящегося на столике.

Для создания обратимого процесса необходимо бесконечно медленно снимать одну песчинку за другой. Тогда процесс будет изотермическим, а давление будет равным внешнему давлению и система будет постоянно в равновесном состоянии. Если процесс осуществляется в обратном направлении, т.е. бесконечно медленно бросать песчинки на столик 3, то система будет последовательно проходить через те же равновесные состояния и возвратится к исходному состоянию (в случае если нет трения).

При расширении рабочее тело в обратимом процессе производит максимальную работу.

Что такое изобарический процесс

Определение

Изобарическим (или изобарным) процессом называется процесс, происходящий в неизменной массе газа при постоянном давлении.

Запишем уравнение для двух состояний идеального газа:

\ \

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), получим уравнение изобарного процесса:

\[\frac{V_2}{V_1}=\frac{T_2}{T_1}\ (3)\]

\[\frac{V}{T}=const\ \left(4\right).\]

Уравнение (4) называют законом Гей-Люссака.

Внутренняя энергия и количество теплоты изобарического процесса

Этот процесс происходит с подводом тепла, если объем увеличивается, или его отводом, чтобы уменьшать объем. Запишем первое начало термодинамики, последовательно получим выражения для работы, внутренней энергии и количества теплоты изобарного процесса:

\[\delta Q=dU+dA=\frac{i}{2}\nu RdT+pdV,\ \left(5\right).\] \[\triangle Q=\int\limits^{T_2}_{T_1}{dU}+\int\limits^{V_2}_{V_1}{dA}(6)\]

где $\delta Q\ $- элементарное тепло, подводимое к системе, $dU$- изменение внутренней энергии газа в проводимом процессе, $dA$- элементарная работа, которую совершает газ в процессе, i-число степеней свободы молекулы газа, R -- универсальная газовая постоянная, d - количество молей газа.

Изменение внутренней энергии газа:

\[\triangle U=\frac{i}{2}\nu R{(T}_2-T_1)\ (7)\] \

Уравнение (8) определяет работу для изобарного процесса. Вычтем из (2) уравнение (1), получим еще одно уравнение для работы газа в изобарном процессе:

\ \[\triangle Q=\frac{i}{2}нR{(T}_2-T_1)+\nu R{(T}_2-T_1)=c_{\mu p}\nu \triangle T\ (10),\]

где $c_{\mu p}$ -- молярная теплоёмкость газа при изобарном процессе. Уравнение (10) определяет количество теплоты, сообщаемое газу массы m в изобарном процессе при увеличении температуры на $\triangle T.$

Изопроцессы очень часто изображают на термодинамических диаграммах. Так, линия, изображающая на такой диаграмме изобарический процесс, называется изобарой (рис.1).

Пример 1

Задание: Определите, как соотносятся давления $p_1$ и $p_2$ на диаграмме V(T) рис 1с.

Проведем изотерму $T_1$

В точках А и В температуры одинаковы, следовательно, газ подчиняется закону Бойля -- Мариотта:

\ \

Переведем данные объемы в СИ: $V_1=2л=2{\cdot 10}^{-3}м^3$, $V_2=4л=4{ 10}^{-3}м^3$

Проведем вычисления:

Ответ: Работа газа в изобарном процессе 600 Дж.

Пример 3

Задание: Сравните работу газа в процессе ABC и работу над газом в процессе CDA рис 3.

За основу решения примем формулу, определяющую работу газа:

Из геометрического смысла определенного интеграла известно, что работа -- есть площадь фигуры, которая ограничена функцией подынтегрального выражения, осью абсцисс, и изохорами в точках $V_1\ и\ V_2$ (оси p(V)). Переведем графики процессов в оси p(V).

Рассмотрим каждый отрезок графиков процессов изображенных на рисунке (3).

АВ: Изохорный процесс (p=const), $V\uparrow \left(\ Объем\ растет\right),\ T\uparrow $;

ВС: Изохорный процесс (V =const), $T\uparrow $ (из графика), p$\uparrow $, из закона для изохорного процесса ($\frac{p}{T}=const$);

CD: (p=const), $V\downarrow ,\ T\downarrow ;$

DA: (V =const), $T\downarrow ,\ p\downarrow .$

Изобразим графики процессов в осях p(V) (рис.4):

Работа газа $A_{ABC}=S_{ABC}$ ($S_{ABC}$ -- площадь прямоугольника ABFE) (рис. 3). Работа над газом $A_{CDA}=S_{CDA}$ ($S_{CDA}$)$\ -площадь\ прямоугольника\ $EFCD.Очевидно, что $A_{CDA}>A_{ABC}.$

Изопроцессами называются процессы, протекающие при неизменном значении одного из па-раметров: давления (p ) , объема (V ) , температуры (T ).

Изопроцессами в газах являются термодинамические процессы, на протяжении течения которых количество вещества и давление, объём, температура либо энтропия не поддаются изменениям. Таким образом, при изобарном процессе не изменяется давление, при изохорном - объём, при изотермическом - температура, при изоэнтропийном - энтропия (к примеру, обратимый адиабатический процесс). И линии, которые отображают перечисленные процессы на некой термодинамической диаграмме, называют, соответственно, изобара , изохора , изотерма и адиабата . Все эти изопроцессы являются частными случаями политропного процесса.

Изохорный процесс.

Изохорный (или изохорический ) процесс — это изменение термодинамической системы с условием не изменения объема (V = const ). Изохорой называют линию, которая отображает изохорический процесс на графике. Этот процесс описывает закон Шарля.

Изотермический процесс.

Изотермический процесс — это изменение термодинамической системы с условием не изменения температуры (T = const ). Изотермой называют линию, которая отображает изотермический процесс на графике. Этот процесс описывает закон Бойля-Мариотта.

Изоэнтропийный процесс.

Изоэнтропийный процесс — это изменение термодинамической системы с условием не изменения энтропии (S = const ). Изоэнтропийным является, например, обратимый адиабатический процесс: в таком процессе не происходит теплообмена с окружающей средой. Идеальный газ в таком процессе описывается следующим уравнением:

pV γ = const ,

где γ — показатель адиабаты, определяемый типом газа.

Изобарный процесс (также называемый изобарическим процессом) является одним из термодинамических процессов, которые происходят при постоянном показателе давления. Масса газа системы при этом также остается постоянной. Наглядное представление о графике, демонстрирующем изобарный процесс, дает термодинамическая диаграмма в соответствующей системе координат.

Примеры

Наиболее простым примером изобарического процесса можно назвать нагревание некоторого объема воды в открытом сосуде. В качестве еще одного примера можно привести расширение идеального газа в цилиндрическом объеме, где поршень имеет свободный ход. В каждом из этих случаев давление будет постоянным. Оно равно обыкновенному атмосферному давлению, что вполне очевидно.

Обратимость

Изобарный процесс можно считать обратимым в том случае, если давление в системе совпадает с внешним давлением и равно во все моменты времени процесса (то есть оно постоянно по своему значению), а температура изменяется очень медленно. Таким образом, термодинамическое равновесие в системе сохраняется в каждый момент времени. Именно совокупность вышеперечисленных факторов дает нам возможность считать изобарный процесс обратимым.

Чтобы осуществить в системе изобарический процесс, теплоту к ней нужно или подводить, или отводить. При этом теплота должна расходоваться на работу расширения идеального газа и на изменение его внутренней энергии. Формулу, демонстрирующую зависимость величин друг от друга при изобарном процессе, называют законом Гей-Люссака. Она показывает, что объем пропорционален температуре. Давайте выведем эту формулу на основании поверхностных знаний.

Вывод закона Гей-Люссака (первичное понимание)

Человек, хотя бы немного разбирающийся в молекулярной физике, знает, что многие задачи связаны с определенными параметрами. Имя им – давление газа, объем газа и температура газа. В тех или иных случаях в ход идут молекулярная и молярная масса, количество вещества, универсальная газовая постоянная и другие показатели. И здесь есть определенная связь. Давайте поговорим об универсальной газовой постоянной подробнее. На тот случай, если кто-то не знает, каким образом ее получили.

Получение универсальной газовой постоянной

Эту константу (постоянное число с определенной размерностью) принято также называть постоянной Менделеева. Она присутствует также в уравнении Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Как же получил наш знаменитый физик эту константу?

Как мы знаем, уравнение идеального газа имеет следующую форму: PV/T (что озвучивается так: “произведение давления на объем, деленное на температуру”). По отношению к универсальной газовой постоянной применим так называемый закон Авогадро. Он гласит о том, что если мы возьмем любой газ, то одинаковое его количество молей при одинаковой температуре и одинаковом давлении займет одинаковый объем.

По сути дела, это есть словесная формулировка уравнения состояния идеального газа, которое было записано в виде формулы немного ранее. Если мы возьмем нормальные условия (а это когда температура газа равна 273,15 Кельвинов, давление равно 1 атмосфере, соответственно, 101325 Паскалей, а объем моля газа равен 22,4 литра) и подставим их в уравнение, все перемножим и разделим, то получим, что совокупность подобных действий дает нам численный показатель, равный 8,31. Размерность дается в Джоулях, деленных на произведение моля на Кельвин (Дж/моль*К).

Уравнение Менделеева-Клапейрона

Давайте возьмем уравнение состояния идеального газа и перепишем его в новом виде. Изначальное уравнение, напомним, имеет вид PV/T=R. А теперь умножим обе части на температурный показатель. Получим формулу PV(м)=RT. То есть произведение давления на объем равно произведению универсальной газовой постоянной на температуру.

Теперь умножим обе части уравнения на то или иное количество молей. Обозначим их количество буквой, скажем, X. Таким образом, получим следующую формулу: PV(м)X=XRT. Но ведь мы знаем, что произведение V с индексом “м” дает нам в результате просто объем V, а число молей X раскрывается в виде деления частной массы на молярную массу, то есть имеет вид m/M.

Таким образом, конечная формула будет выглядеть следующим образом: PV=MRT/m. Это и есть то самое уравнение Менделеева-Клапейрона, к которому пришли оба физика практически одновременно. Мы можем умножить правую часть уравнения (и в то же время разделить) на число Авогадро. Тогда получим: PV = XN(a)RT/N(a). Но ведь произведение количества молей на число Авогадро, то есть XN(a), дает нам не что иное, как общее число молекул газа, обозначаемое буквой N.

В то же время частное от универсальной газовой постоянной и числа Авогадро – R/N(a) даст постоянную Больцмана (обозначается k). В итоге мы получим еще одну формулу, но уже в несколько другом виде. Вот она: PV=NkT. Можно раскрыть эту формулу и получить следующий результат: NkT/V=P.

Работа газа при изобарном процессе

Как мы выяснили ранее, изобарным процессом называется термодинамический процесс, при котором давление остается величиной постоянной. А чтобы выяснить, как будет определяться работа при изобарном процессе, нам придется обратиться к первому началу термодинамики. Общая формула выглядит следующим образом: dQ = dU + dA, где dQ - это количество теплоты, dU – изменение внутренней энергии, а dA – работа, совершаемая в ходе выполнения термодинамического процесса.

Теперь рассмотрим конкретно изобарный процесс. Примем во внимание тот фактор, что давление остается постоянным. Теперь попытаемся переписать первое начало термодинамики для изобарного процесса: dQ = dU + pdV. Чтобы получить наглядное представление о процессе и работе, нужно изобразить его в системе координат. Ось абсцисс обозначим p, ось ординат V. Пускай объем будет увеличиваться. В двух отличных друг от друга точках с соответствующим значением p (конечно же, фиксированным) отметим состояния, представляющие собой V1 (первоначальный объем) и V2 (конечный объем). В этом случае график будет представлять собой прямую линию, параллельную оси абсцисс.

Найти работы в таком случае проще простого. Это будет просто площадь фигуры, ограниченная с двух сторон проекциями на ось абсцисс, а с третьей стороны – прямой линией, соединяющей точки, лежащие, соответственно, в начале и конце изобарной прямой. Попробуем вычислить значение работы при помощи интеграла.

Он будет вычисляться следующим образом: A = p (интеграл в пределах от V1 до V2) dV. Раскроем интеграл. Получим, что работа будет равна произведению давления на разность объемов. То есть выглядеть формула будет следующим образом: A = p (V2 – V1). Если мы раскроем некоторые величины, то получим еще одну формулу. Она выглядит так: A = xR (T2 – T2), где x – количество вещества.

Универсальная газовая постоянная и ее смысл

Можно сказать, что последнее выражение будет определять физический смысл R – универсальной газовой постоянной. Чтобы было понятнее, давайте обратимся к конкретным числам. Возьмем для проверки один моль какого-либо вещества. В то же время пускай температурная разница будет составлять 1 Кельвин. В этом случае легко заметить, что работа газа будет равна универсальной газовой постоянной (или же наоборот).

Заключение

Этот факт можно подать немного в другом свете, перефразировав формулировку. Например, универсальная газовая постоянная будет численно равна работе, совершаемой при изобарном расширении одним молем идеального газа, если он нагревается на один Кельвин. Вычислить работу при других изопроцессах будет несколько сложнее, но главное - при этом применять логику. Тогда все быстро встанет на свои места, и вывод формулы окажется проще, чем вы думаете.

Изохорический процесс

Изохорический процесс происходит при постоянном объеме. Зависимость давления от температуры описывается уравнением:

- закон Шарля, (2)

который читается: для данной массы газа при постоянном объеме давление газа линейно возрастает с увеличением температуры .

Изобарический процесс

Изобарический процесс. Это процесс, происходящий при постоянном давлении, Р = const .

Зависимость объема от температуры описывается законом:

- закон Гей-Люсака, (3)

который читается: для данной массы газа при постоянном давлении объем газа линейно возрастает с ростом температуры .

Адиабатический процесс

Адиабатическим процессом называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой (dQ = 0). Он описывается уравнением Пуассона:

, (4)

где  -постоянная адиабатического процесса. Постоянная адиабатического процесса равна:

. (5)

При адиабатическом процессе изменяются все параметры газа: давление, объем и температура.

2. Теплоемкость газа

Количество теплоты dQ , сообщенное телу при нагревании, равно

где с - удельная теплоемкость вещества , равная количеству теплоты, сообщаемой единице массы вещества для нагревания ее на один градус.

Помимо удельной теплоемкости вводится понятие мольной теплоемкости. Мольная теплоемкость С - равная количеству теплоты, сообщаемой одному молю вещества для нагревания его на один градус.

Мольная и удельная теплоемкости связаны между собой соотношением:

С =  с, (6)

где С - мольная теплоемкость, - молярная масса.

Газ можно нагревать при постоянном давлении и при постоянном объеме, поэтому для газа вводятся две теплоемкости: изобарическая и изохорическая. Мольная изобарическая и мольная изохорическая теплоемкости газа связаны с соответственными соотношениями:

;

.

Отсюда видно, что отношение мольных теплоемкостей газа равно отношению удельных

.

Количество теплоты, сообщенное 1 молю газа при изохорическом процессе, равно:

а при изобарическом процессе

3Первое начало термодинамики

Количество теплоты dQ , сообщенное термодинамической системе, расходуется на увеличение ее внутренней энергии dU и на работу dA системы против внешних сил.

dQ = dU + dA . (9)

Внутренняя энергия U - суммарная энергия всех молекул в газе для идеального газа – кинетическая энергия вращательного и поступательного движения. Для одного моля газа определяется выражением

. (10)

Работа совершаемая газом равна

dA = pdV . (11)

где dV - изменение его объема.

Применение первого начало термодинамики Изотермический процесс

При этом процессе температура остается постоянной (Т =const) В этом случае dT =0 и внутренняя энергия не изменяется dU =0 dQ = dA , т.е. вся подводимая теплота расходуется газом на совершение работы против внешних сил.

Изохорический процесс

При изохорическом процессе V=const, dV=0 и dA=0. Т.е. при этом процессе работа не совершается, т.к. объем не изменяется. Тогда 1 началозапишется:

dQ = dU .

Т.е. количество теплоты расходуется на изменение внутренней энергии. Но по определению

(для 1 моля). Следовательно,

.

Из этой формулы видно, что изменение внутренней энергии газа определяется только изменением его температуры. Теплоемкость при постоянном объеме (изохорная теплоемкость) равна:

Изобарный процесс

Термодинамический процесс, в котором давление не изменяется, называют изобарным.

В изобарном процессе с n = c p .. Для этого процесса показатель политропыn = 0.

Изохорный процесс

Термодинамический процесс, в котором удельный объем не изменяется, называют изохорным.

В изохорном процессе с n = c v . Этот процесс протекает при n = .

Изотермический процесс

Термодинамический процесс, в котором температура не изменяется, называют изотермическим.

В изотермическом процессе с n = c T = . В изотермическом процессепоказатель политропыn = 1.

Адиабатный процесс

Термодинамический процесс, который протекает без теплообмена с окружающей средой, называют адиабатным.

В адиабатном процессе с n = c q = , тогдапоказатель политропыn = к. Здесь через к обозначено отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме, то есть к = . Это отношение в термодинамике называют показателем адиабаты.

Уравнение адиабаты имеет вид:

p v к = const .

Влажный воздух

Смесь сухого воздуха с водяным паром называют влажным воздухом.

Абсолютная влажность

Под абсолютной влажностью понимают массу водяного пара находящуюся в одном метре кубическом влажного воздуха.

Из определения следует, что абсолютная влажность – это плотность пара во влажном воздухе, т.е. = Единица измерения абсолютной влажности килограмм на метр кубический (кг/м3).

Относительная влажность

Отношение действительного значения абсолютной влажности к максимально возможному ее значению при той же температуре называется

относительной влажностью.

Обозначают относительную влажность : или = .

Влагосодержание

Массу водяного пара, приходящуюся на 1 кг сухого воздуха, называют

Обозначают влагосодержание через d , измеряют в г/кг. Из определе-

ния следует: d =

Степень сухости

Массовая доля сухого пара во влажном называется степенью сухости .

Обозначают степень сухости через x и вычисляют как x = m c / m ,

где m c – масса сухого пара; m – масса влажного пара.

Дросселирование

Дросселированием называют процесс понижения давления в газовом

потоке при преодолении местного сопротивления (примеры местных сопротивлений: кран, клапан, задвижка, капиллярная трубка).

Дроссельный эффект

Отношение бесконечно малого изменения температуры к бесконечно малому изменению давления при дросселировании называется дроссельным

эффектом.

Это отношение обозначают , тогда =

Опыты Джоуля и Томсона показали, что для реального газа может менять знак: быть меньше нуля, равным нулю либо больше нулю.

Температура инверсии

Изменение знака дроссельного эффекта именуют инверсией, а температура, при которой = 0 , называется температурой инверсии. Ее обозначают T инв .

Тепловая машина Карно

Экзотическая тепловая машина, имеющая максимально возможное значение термического КПД за счет того, что в ней подвод и отвод теплоты осуществляется при изотермическом процессе, а сжатие и расширение рабочего тела происходит в адиабатном процессе.

Тепловой двигатель

Тепловой двигатель – это машина, в которой для получения механической работы используется теплота.

Двигатель внутреннего сгорания

Тепловой двигатель, в котором химическая энергия топлива преобразуется в теплоту внутри расширительной машины, называют двигателем внутреннего сгорания (ДВС).

Изохорный ДВС

Изохорным называют тот ДВС, в котором сгорание топлива происходит при постоянном объеме, а для совершения работы используется поршневая машина.

Изобарный ДВС

Изобарным называют тот ДВС, в котором сгорание топлива происходит при постоянном давлении, а для совершения работы используется поршневая машина.

Газотурбинный двигатель

Газотурбинный двигатель относится к ДВС, в котором сгорание топлива осуществляется, в большинстве случаев, в изобарном процессе, а в качестве расширительной машины используется газовая турбина.

Турбореактивный двигатель

Турбореактивный двигатель относится к ДВС, в котором сгорание

топлива осуществляется в изобарном процессе, а в качестве расширительной машины используется газовая турбина и реактивное сопло.

Степень сжатия

Под степенью сжатия в поршневых ДВС понимают отношение полного объема цилиндра к объему камеры сгорания.

Обозначают степень сжатия .

Степень повышения давления

Отношение давления конечного к начальному в процессе сжатия отдельно в ступени (либо в компрессоре целом) называют степенью повышения давления, обозначают ст ,то есть ст = р кон. /р нач .

Объемная подача компрессора

Под объемной подачей понимают количество кубических метров газа, выходящего из компрессора в единицу времени и приведенного к давлению и температуре на входе в компрессор. Обозначают подачу компрессора, и выражают в м 3 /с.

Холодильная машина

Машина, осуществляющая искусственное охлаждение с помощью под-

водимой энергии, называется холодильной машиной.

Хладагент

Хладагент – рабочее тело холодильной машины.

Холодильный эффект

Холодильный эффект – это количество теплоты (q 2 ), отводимое от

охлаждаемого объекта одним килограммом хладагента.

Холодильная мощность

Количество теплоты, отводимое от охлаждаемого объекта в единицу времени, называют холодильной мощностью. Обозначают холодильную мощность N x , выражают в ваттах (Вт).

Для определения N x используют выражение:

N x = q 2 ,

где q 2 – холодильный эффект;

–секундный массовый расход хладагента.

Холодильный коэффициент

Холодильный коэффициент устанавливает энергетическую эффективность холодильных установок и численно равен отношению количества теплоты, отведенного от охлаждаемого тела, к количеству затраченной на охлаждение энергии.

Обозначают холодильный коэффициент , из определения = .

2. Теория теплообмена

Теплообмен

Теплообмен – это самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты в пространстве с неоднородным полем температуры .

Температурное поле

Температурным полем называют совокупность значений температуры во всех точках рассматриваемого пространства в некоторый фиксированный момент времени.

Температурный градиент

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры и численно равный частотной производной от температуры по нормали к поверх-

ности:

Тепловой поток

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотерми-

ческую поверхность, называют тепловым потоком.

Тепловой поток обозначают, единица измерения ватт (Вт).

Плотность теплового потока

Тепловой поток, отнесенный к единице площади поверхности, называют плотностью теплового потока.

Обозначают плотность теплового потока , выражают в ваттах на метр квадратный (Вт/м2).Из определения:

Теплопроводность

Теплообмен посредством теплового движения микроструктурных частиц вещества (молекул, атомов, электронов, ионов) в той или иной среде называют теплопроводностью.

Закон теплопроводности

Тепловой поток, проходящий через элемент изотермической поверх-

ности dF , пропорционален grad T :

= qrad T dF .

Так как направления теплового потока и градиента температуры противоположны, в выражении за знаком равенства проставлен минус. Величина коэффициента пропорциональности , названа коэффициентом теплопроводности.

Коэффициент теплопроводности

Коэффициент теплопроводности – величина, характеризующая теплопроводящие свойства материала. Обозначение , c единицей измерения ватт на метр-кельвин (Вт/(м  К)).

Числовое значение коэффициента теплопроводности определяет коли-

чество теплоты, проходящей через единицу изотермической поверхности в единицу времени, при условии, что grad T = 1.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальным уравнением теплопроводности для трехмер-

ного нестационарного температурного поля называют уравнение вида:

где Т – температура;

–время;

а – коэффициент температуропроводности;

x , y , z – координаты.

Данное уравнение в общем виде устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке тела.

Коэффициент температуропроводности

Коэффициент температуропроводности – величина, характеризующая скорость распространения изотермических поверхностей в нестационарных тепловых процессах.

Обозначают коэффициент температуропроводности a и выражают в метрах квадратных в секунду (м2/с).

Для вычисления величины коэффициента температуропроводности используется выражение а =

Конвекция

Под конвекцией (от лат. conviction – перемещение, доставка) понимают теплообмен, осуществляемый макроскопическими элементами жидкой или газообразной среды при их перемещении .

Конвективный теплообмен

Перенос теплоты в теплоносителе конвекцией и теплопроводностью именуют конвективным теплообменом.

Теплоотдача

Конвективный теплообмен между теплоносителем и поверхностью обтекаемого им тела называют теплоотдачей.

Основной закон теплоотдачи

Плотность теплового потока пропорциональна температурному напору:

где коэффициент пропорцианальности, именуемый коэффициентом

теплоотдачи;

температурный напор, равный разности температур теплоно- сителя и поверхности.

Коэффициент теплоотдачи

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность конвективного теплообмена на границе теплоноситель – стенка.

Обозначают коэффициент теплоотдачи и выражают в ваттах на метр квадратный-кельвин (Вт/(м2·К)). Численно коэффициент теплоотдачи равен тепловому потоку, приходящемуся на единицу поверхности в единицу времени при температурном напоре, равном единице.

Дифференциальное уравнение теплоотдачи

Дифференциальным уравнением теплоотдачи называют выражение

вида:

Теория теплового подобия

Теория теплового подобия – это система понятий и правил, обеспечивающих возможность переноса результатов экспериментов по определению коэффициентов теплоотдачи с одних объектов на другие .

Теория теплового подобия позволяет, не интегрируя описывающие теплоотдачу дифференциальные уравнения, получить из них критерии подобия и, используя экспериментальные данные, установить критериальные зависимости для определения во всех подобных эксперименту процессах теплоотдачи.

Критерии теплового подобия

Под критериями теплового подобия понимают безразмерные комплексы, составленных из определенных комбинаций величин, описывающих тот или иной процесс теплоотдачи.

В большинстве задач по определению коэффициента теплоотдачи используются следующие критерии теплового подобия:

Критерий Нуссельта, Nu = ,

где α – коэффициент теплоотдачи,

λ – коэффициент теплопроводности.

Критерий Нуссельта характеризует теплообмен на границе стенка – теплоноситель и устанавливает численное отношение между интенсивностью теплоотдачи и тепловой проводимостью (λ / l) теплоносителя.

Критерий Рейнольдса, Re = ,

гдеc – скорость теплоносителя;

l – характерный геометрический размер;

Темы кодификатора ЕГЭ : изопроцессы - изотермический, изохорный, изобарный процессы.

На протяжении этого листка мы будем придерживаться следующего предположения: масса и химический состав газа остаются неизменными . Иными словами, мы считаем, что:

То есть нет утечки газа из сосуда или, наоборот, притока газа в сосуд;

То есть частицы газа не испытывают каких-либо изменений (скажем, отсутствует диссоциация - распад молекул на атомы).

Эти два условия выполняются в очень многих физически интересных ситуациях (например, в простых моделях тепловых двигателей) и потому вполне заслуживают отдельного рассмотрения.

Если масса газа и его молярная масса фиксированы, то состояние газа определяется тремя макроскопическими параметрами: давлением, объёмом и температурой . Эти параметры связаны друг с другом уравнением состояния (уравнением Менделеева - Клапейрона).

Термодинамический процесс (или просто процесс ) - это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров - давления, объёма и температуры.

Особый интерес представляют изопроцессы - термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.

1. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре газа: .
2. Изобарный процесс идёт при постоянном давлении газа: .
3. Изохорный процесс идёт при постоянном объёме газа: .

Изопроцессы описываются очень простыми законами Бойля - Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Давайте перейдём к их изучению.

Изотермический процесс

Пусть идеальный газ совершает изотермический процесс при температуре . В ходе процесса меняются только давление газа и его объём.

Рассмотрим два произвольных состояния газа: в одном из них значения макроскопических параметров равны , а во втором - . Эти значения связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:

Как мы сказали с самого начала,масса и молярная масса предполагаются неизменными.

Поэтому правые части выписанных уравнений равны. Следовательно, равны и левые части:

(1)

Поскольку два состояния газа были выбраны произвольно, мы можем заключить, что в ходе изотермического процесса произведение давления газа на его объём остаётся постоянным :

(2)

Данное утверждение называется законом Бойля - Мариотта .

Записав закон Бойля - Мариотта в виде

(3)

можно дать и такую формулировку: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму . Если, например, при изотермическом расширении газа его объём увеличивается в три раза, то давление газа при этом в три раза уменьшается.

Как объяснить обратную зависимость давления от объёма с физической точки зрения? При постоянной температуре остаётся неизменной средняя кинетическая энергия молекул газа, то есть, попросту говоря, не меняется сила ударов молекул о стенки сосуда. При увеличении объёма концентрация молекул уменьшается, и соответственно уменьшается число ударов молекул в единицу времени на единицу площади стенки - давление газа падает. Наоборот, при уменьшении объёма концентрация молекул возрастает, их удары сыпятся чаще и давление газа увеличивается.

Графики изотермического процесса

Вообще, графики термодинамических процессов принято изображать в следующих системах координат:

-диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
-диаграмма: ось абсцисс , ось ординат .

График изотермического процесса называется изотермой .

Изотерма на -диаграмме - это график обратно пропорциональной зависимости .

Такой график является гиперболой (вспомните алгебру - график функции ). Изотерма-гипербола изображена на рис. 1 .

Рис. 1. Изотерма на -диаграмме

Каждая изотерма отвечает определённому фиксированному значению температуры. Оказывается, что чем выше температура, тем выше лежит соответствующая изотерма на -диаграмме .

В самом деле, рассмотрим два изотермических процесса, совершаемых одним и тем же газом (рис. 2 ). Первый процесс идёт при температуре , второй - при температуре .

Рис. 2. Чем выше температура, тем выше изотерма

Фиксируем некоторое значение объёма . На первой изотерме ему отвечает давление , на второй - class="tex" alt="p_2 > p_1"> . Но при фиксированном объёме давление тем больше, чем выше температура (молекулы начинают сильнее бить по стенкам). Значит, class="tex" alt="T_2 > T_1"> .

В оставшихся двух системах координат изотерма выглядит очень просто: это прямая, перпендикулярная оси (рис. 3 ):

Рис. 3. Изотермы на и -диаграммах

Изобарный процесс

Напомним ещё раз, что изобарный процесс - это процесс, проходящий при постоянном давлении. В ходе изобарного процесса меняются лишь объём газа и его температура.

Типичный пример изобарного процесса: газ находится под массивным поршнем, который может свободно перемещаться. Если масса поршня и поперечное сечение поршня , то давление газа всё время постоянно и равно

где - атмосферное давление.

Пусть идеальный газ совершает изобарный процесс при давлении . Снова рассмотрим два произвольных состояния газа; на этот раз значения макроскопических параметров будут равны и .

Выпишем уравнения состояния:

Поделив их друг на друга, получим:

В принципе, уже и этого могло бы быть достаточно, но мы пойдём немного дальше. Перепишем полученное соотношение так, чтобы в одной части фигурировали только параметры первого состояния, а в другой части - только параметры второго состояния (иными словами, «разнесём индексы» по разным частям):

(4)

А отсюда теперь - ввиду произвольности выбора состояний! - получаем закон Гей-Люссака :

(5)

Иными словами, при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре :

(6)

Почему объём растёт с ростом температуры? При повышении температуры молекулы начинают бить сильнее и приподнимают поршень. При этом концентрация молекул падает, удары становятся реже, так что в итоге давление сохраняет прежнее значение.

Графики изобарного процесса

График изобарного процесса называется изобарой . На -диаграмме изобара является прямой линией (рис. 4 ):

Рис. 4. Изобара на -диаграмме

Пунктирный участок графика означает, что в случае реального газа при достаточно низких температурах модель идеального газа (а вместе с ней и закон Гей-Люссака) перестаёт работать. В самом деле, при снижении температуры частицы газа двигаются всё медленнее, и силы межмолекулярного взаимодействия оказывают всё более существенное влияние на их движение (аналогия: медленный мяч легче поймать, чем быстрый). Ну а при совсем уж низких температурах газы и вовсе превращаются в жидкости.

Разберёмся теперь, как меняется положение изобары при изменении давления. Оказывается, что чем больше давление, тем ниже идёт изобара на -диаграмме .
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две изобары с давлениями и (рис. 5 ):

Рис. 5. Чем ниже изобара, тем больше давление

Зафиксируем некоторое значение температуры . Мы видим, что . Но при фиксированной температуре объём тем меньше, чем больше давление (закон Бойля - Мариотта!).

Стало быть, class="tex" alt="p_2 > p_1"> .

В оставшихся двух системах координат изобара является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 6 ):

Рис. 6. Изобары на и -диаграммах

Изохорный процесс

Изохорный процесс, напомним, - это процесс, проходящий при постоянном объёме. При изохорном процессе меняются только давление газа и его температура.

Изохорный процесс представить себе очень просто: это процесс, идущий в жёстком сосуде фиксированного объёма (или в цилиндре под поршнем, когда поршень закреплён).

Пусть идеальный газ совершает изохорный процесс в сосуде объёмом . Опять-таки рассмотрим два произвольных состояния газа с параметрами и . Имеем:

Делим эти уравнения друг на друга:

Как и при выводе закона Гей-Люссака, «разносим» индексы в разные части:

(7)

Ввиду произвольности выбора состояний мы приходим к закону Шарля :

(8)

Иными словами, при постоянном объёме газа его давление прямо пропорционально температуре :

(9)

Увеличение давления газа фиксированного объёма при его нагревании - вещь совершенно очевидная с физической точки зрения. Вы сами легко это объясните.

Графики изохорного процесса

График изохорного процесса называется изохорой . На -диаграмме изохора является прямой линией (рис. 7 ):

Рис. 7. Изохора на -диаграмме

Смысл пунктирного участка тот же: неадекватность модели идеального газа при низких температурах.

Рис. 8. Чем ниже изохора, тем больше объём

Доказательство аналогично предыдущему. Фиксируем температуру и видим, что . Но при фиксированной температуре давление тем меньше, чем больше объём (снова закон Бойля - Мариотта). Стало быть, class="tex" alt="V_2 > V_1"> .

В оставшихся двух системах координат изохора является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 9 ):

Рис. 9. Изохоры на и -диаграммах

Законы Бойля - Мариотта, Гей-Люссака и Шарля называются также газовыми законами .

Мы вывели газовые законы из уравнения Менделеева - Клапейрона. Но исторически всё было наоборот: газовые законы были установлены экспериментально, и намного раньше. Уравнение состояния появилось впоследствии как их обобщение.

Возможно, будет полезно почитать: